El técnica del locus radicular en el sistema de control fue introducida por primera vez en el año 1948 por Evans. Cualquier sistema físico está representado por una función de transferencia en forma de
Podemos encontrar polos y ceros de G(s). La ubicación de los polos y los ceros son cruciales para mantener la estabilidad de la vista, la estabilidad relativa, la respuesta transitoria y el análisis de errores. Cuando el sistema se pone en servicio se pierde inductancia y capacitancia se meten en el sistema, así cambia la ubicación de los polos y los ceros. En técnica del locus radicular en el sistema de control evaluaremos la posición de las raíces, su lugar de movimiento y la información asociada. Esta información se utilizará para comentar el rendimiento del sistema.
Ahora, antes de presentar lo que es una técnica de locus radicular, es muy esencial aquí discutir algunas de las ventajas de esta técnica sobre otros criterios de estabilidad. Algunas de las ventajas de la técnica del locus radicular están escritas a continuación.
Ventajas de la técnica del Root Locus
- La técnica del locus radicular en el sistema de control es fácil de aplicar en comparación con otros métodos.
- Con la ayuda del root locus podemos predecir fácilmente el rendimiento de todo el sistema.
- El lugar de la raíz proporciona la mejor manera de indicar los parámetros.
Ahora bien, hay varios términos relacionados con la técnica del locus radicular que utilizaremos frecuentemente en este artículo.
- Ecuación característica relacionada con la técnica del Root Locus : 1 + G(s)H(s) = 0 se conoce como ecuación característica. Ahora al diferenciar la ecuación característica y al igualar dk/ds a cero, podemos obtener puntos de ruptura.
- Puntos de ruptura : Supongamos que dos loci raíz que comienzan desde el polo y se mueven en dirección opuesta chocan entre sí de tal manera que después de la colisión comienzan a moverse en diferentes direcciones de manera simétrica. O los puntos de ruptura en los que se producen múltiples raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. El valor de K es máximo en los puntos en los que se desprenden las ramas de los loci de las raíces. Los puntos de ruptura pueden ser reales, imaginarios o complejos.
- Punto de ruptura : La condición de la entrada para estar en la parcela está escrita abajo: El lugar de la raíz debe estar presente entre dos ceros adyacentes en el eje real.
- Centro de gravedad: También se conoce como centroide y se define como el punto de la trama desde donde comienzan todas las asíntotas. Matemáticamente, se calcula por la diferencia de la suma de polos y ceros en la función de transferencia cuando se divide por la diferencia del número total de polos y el número total de ceros. El centro de gravedad es siempre real y se denota porA.
Donde, N es el número de polos y M es el número de ceros. - Asíntotas de la raíz del loci : La asíntota se origina en el centro de gravedad o centroide y va al infinito en algún ángulo definido. Las asíntotas proporcionan la dirección del lugar de la raíz cuando salen de los puntos de ruptura.
- Ángulo de las asíntotas : Las asíntotas forman un ángulo con el eje real y este ángulo puede ser calculado a partir de la fórmula dada,
Donde, p = 0, 1, 2 . (N-M-1)
N es el número total de polos
M es el número total de ceros. - Ángulo de llegada o salida : Calculamos el ángulo de partida cuando existen polos complejos en el sistema. El ángulo de partida puede calcularse como 180-{suma de ángulos a un polo complejo a partir de los otros polos)-(suma de ángulo a un polo complejo a partir de los ceros)}.
- Intersección del Root Locus con el eje imaginario: Para averiguar el punto de intersección del lugar de la raíz con el eje imaginario, debemos usar el criterio de Routh Hurwitz. Primero encontramos la ecuación auxiliar y luego el valor correspondiente de K dará el valor del punto de intersección.
- Ganar Margen : Definimos el margen de ganancia por el cual el valor de diseño del factor de ganancia puede ser multiplicado antes de que el sistema se vuelva inestable. Matemáticamente viene dado por la fórmula
- Margen de la fase : El margen de fase puede calcularse a partir de la fórmula dada:
- Simetría del lugar de la raíz: El locus de la raíz es simétrico respecto al eje X o al eje real.
¿Cómo determinar el valor de K en cualquier punto de los loci de la raíz? Ahora hay dos formas de determinar el valor de K, cada una de ellas se describe a continuación.
- Criterios de Magnitud : En cualquier punto del lugar de la raíz podemos aplicar criterios de magnitud como,
Usando esta fórmula podemos calcular el valor de K en cualquier punto deseado. - Usando el Root Locus Plot : El valor de K en cualquier s en el lugar de la raíz está dado por
Gráfica de localización de la raíz
Esto se conoce también como la técnica del locus radicular en el sistema de control y se utiliza para determinar la estabilidad del sistema dado. Ahora bien, para determinar la estabilidad del sistema mediante la técnica del root locus encontramos el rango de valores de K para el que el rendimiento completo del sistema será satisfactorio y el funcionamiento es estable.
Ahora hay algunos resultados que uno debe recordar para trazar el lugar de la raíz. Estos resultados están escritos a continuación:
- Región donde existe el locus de la raíz : Después de trazar todos los polos y ceros en el plano, podemos encontrar fácilmente la región de existencia del lugar de la raíz utilizando una simple regla que está escrita a continuación,
Sólo se considerará ese segmento para hacer el locus de la raíz si el número total de polos y ceros en el lado derecho del segmento es impar. - ¿Cómo se calcula el número de loci de raíces separadas? : Un número de loci radiculares separados es igual al número total de raíces si el número de raíces es mayor que el número de polos, de lo contrario el número de loci radiculares separados es igual al número total de polos si el número de raíces es mayor que el número de ceros.
Procedimiento para trazar el lugar de la raíz
Teniendo en cuenta todos estos puntos, somos capaces de dibujar el trama del locus de la raíz para cualquier tipo de sistema. Ahora vamos a discutir el procedimiento para hacer un locus de raíz.
- Averigua todas las raíces y polos de la función de transferencia en bucle abierto y luego grafícalos en el plano complejo.
- Todos los loci de la raíz comienzan en los polos donde k = 0 y terminan en los ceros donde K tiende al infinito. El número de ramas que terminan en el infinito es igual a la diferencia entre el número de polos y el número de ceros de G(s)H(s).
- Encontrar la región de existencia de los loci de la raíz del método descrito anteriormente después de encontrar los valores de M y N.
- Calcula los puntos de ruptura y los puntos de entrada si los hay.
- Trace las asíntotas y el punto centroide en el plano complejo para los loci de la raíz calculando la pendiente de las asíntotas.
- Ahora calcula el ángulo de partida y la intersección de los loci de la raíz con el eje imaginario.
- Ahora determine el valor de K usando cualquiera de los métodos que he descrito anteriormente.
- Calcula el margen de ganancia.
- Calcula el margen de fase.
- Puedes comentar fácilmente la estabilidad del sistema usando Routh Array.
Siguiendo el procedimiento anterior puede dibujar fácilmente el trama del locus de la raíz para cualquier función de transferencia en bucle abierto.
