Modelado matemático del sistema de control.

Modelado matemático del sistema de control

Hay varios tipos de sistemas físicos, a saber, tenemos:

1. Sistemas mecánicos
2. Sistemas eléctricos
3. Sistemas electrónicos
4. Sistemas térmicos
5. Sistemas hidráulicos
6. Sistemas químicos

Primero tenemos que entender por qué necesitamos modelar estos sistemas en primer lugar. Modelado matemático de un sistema de control es el proceso de dibujar los diagramas de bloques para este tipo de sistemas a fin de determinar su rendimiento y funciones de transferencia.

Ahora describamos en detalle el tipo de sistemas mecánicos y eléctricos. Derivaremos las analogías entre el sistema mecánico y el eléctrico sólo las más importantes para entender la teoría del sistema de control.

Modelado matemático de sistemas mecánicos

Tenemos dos tipos de sistemas mecánicos. El sistema mecánico puede ser un sistema mecánico lineal o puede ser un sistema de tipo mecánico rotativo.
En un tipo de sistemas mecánicos linealestenemos tres variables:

1. La fuerza, representada por F
2. La velocidad, representada por V
3. El desplazamiento lineal, representado por X

Y también tenemos tres parámetros:

1. La masa, representada por M
2. El coeficiente de fricción viscosa, representado por B
3. La constante del resorte, representada por K

En un sistema de tipo mecánico rotacional tenemos tres variables:

1. El par, representado por T
2. La velocidad angular, representada por
3. El desplazamiento angular, representado por

Y también tenemos dos parámetros:

1. Momento de inercia, representado por J
2. El coeficiente de fricción viscosa, representado por B

Ahora consideremos el sistema mecánico de desplazamiento lineal que se muestra a continuación…

Ya hemos marcado varias variables en el propio diagrama. Tenemos x es el desplazamiento como se muestra en el diagrama. A partir de la segunda ley de movimiento de Newtons, podemos escribir la fuerza como…

En el diagrama de abajo podemos ver eso:

Al sustituir los valores de F1, F2 y F3 en la ecuación anterior y tomando la Laplace transformar tenemos la función de transferencia como,

Esta ecuación es el modelado matemático de un sistema de control mecánico.

Modelado matemático del sistema eléctrico

En un sistema de tipo eléctrico tenemos tres variables

1. Voltaje que está representado por V.
2. Corriente que está representada por I.
3. Carga que está representada por Q.

Y también tenemos tres parámetros que son componentes activos y pasivos:

1. Resistencia que está representado por R.
2. Capacidad que está representada por C.
3. Inductancia que está representada por L.

Ahora estamos en condiciones de derivar una analogía entre los tipos de sistemas eléctricos y mecánicos. Hay dos tipos de analogías y están escritas a continuación:
Analogía de fuerza y voltaje : Para entender este tipo de analogía, consideremos un circuito que consiste en una combinación en serie de resistencia, inductor y condensador.

A voltaje V está conectado en serie con estos elementos como se muestra en el diagrama de circuito. Ahora, a partir del circuito y con la ayuda de KVL escribimos la expresión para el voltaje en términos de carga, resistencia, condensador e inductor como,

Ahora, comparando lo anterior con lo que hemos derivado para el sistema mecánico encontramos que…

1. La masa (M) es análoga a inductancia (L).
2. La fuerza es análoga al voltaje V.
3. El desplazamiento (x) es análogo a la carga (Q).
4. El coeficiente de fricción (B) es análogo a la resistencia R y
5. La constante del resorte es análoga a la inversa del condensador (C).

Esta analogía se conoce como analogía del voltaje de fuerza.
Analogía de la corriente de fuerza : Para entender este tipo de analogía, consideremos un circuito que consiste en una combinación paralela de resistencia, inductor y condensador.

Un voltaje E está conectado en paralelo con estos elementos como se muestra en el diagrama de circuito. Ahora, a partir del circuito y con la ayuda de KCL escribimos la expresión para la corriente en términos de flujoresistencia, condensador y inductor como,

Ahora comparando lo anterior con lo que hemos derivado para el sistema mecánico encontramos que,

1. La masa (M) es análoga al condensador (C).
2. La fuerza es análoga a la I actual.
3. El desplazamiento (x) es análogo al flujo ().
4. El coeficiente de fricción (B) es análogo al resistencia 1/ R y
5. La constante de resorte K es análoga a la inversa del inductor (L).

Esta analogía se conoce como analogía de la corriente de fuerza.
Ahora consideremos el tipo de sistema mecánico rotacional que se muestra a continuación ya hemos marcado varias variables en el propio diagrama. Tenemos es el desplazamiento angular como se muestra en el diagrama. A partir del sistema mecánico, podemos escribir la ecuación para el par (que es análoga a la fuerza) como par como,

En el diagrama podemos ver que el,

Al sustituir los valores de T1, T2 y T3 en la ecuación anterior y tomando la Laplace transformar tenemos la función de transferencia como,

Esta ecuación es un modelo matemático de sistema de control eléctrico.